Question

如圖，A，B，C是表面積為48π的球面上三點，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，O為球心，則直線OA與截面ABC所成的角是

arccos

3

3

．

Answer 1

分析：先設O在截面ABC上的射影是O₁，根據球的性質可得∠OAO₁為直線OA與截面ABC所成的角；在通過正弦定理以及余弦定理的應用求出小圓半徑，即可得到結論．

解答：解：設O在截面ABC上的射影是O₁，
則O₁為截面三角形ABC的外心，連接AO₁，
則∠OAO₁為直線OA與截面ABC所成的角．
球的半徑為R，小圓半徑為r．
由球的表面積為48π，得R=2

3

，
在△ABC中，有余弦定理得AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC=4+16-16cos60°=12⇒AC=2

3

，
由正弦定理得

AC

sin∠ABC

=

2 3

3 2

=4=2r，即r=2．
∴cos∠OAO₁=

O 1A

OA

=

r

R

=

2

2 3

=

3

3

．
∴直線OA與截面ABC所成的角是：arccos

3

3

．
故答案為：arccos

3

3

．

點評：本題主要考察球的相關知識，解三角形以及直線與平面所成的角．解決本題的關鍵在于熟悉球中的相關結論：球心與截面圓心的連線與截面垂直．