Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知定點A(－4，0)、C(4，0)，半徑為r的圓M的圓心M在線段AC的垂直平分線上，且在y軸右側，圓M被y軸截得的弦長為 r.

(1)求圓M的方程；（2)當r變化時，是否存在定直線l與動圓M均相切？如果存在，求出定直線l的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） ;(2) 存在兩條直線y＝3和4x＋3y－9＝0與動圓M均相切.

【解析】試題分析：（1）根據圓心在弦的中垂線上求得線段AC的垂直平分線方程為y＝2x＋3，可知圓心在這條線上，設圓心為M(a，2a＋3)再有垂徑定理構造方程求解即可；（2）由直線和圓相切的性質得到＝r，圓心到直線的距離為半徑，再根據方程恒等得到

對應系數相等即可；

(1)由題意C(0，－2)，A(－4，0)，

所以線段AC的垂直平分線方程為y＝2x＋3.

設M(a，2a＋3)(a＞0)，則圓M的方程為(x－a)2＋(y－2a－3)2＝r2.

圓心M到y軸的距離d＝a，由r2＝d2＋，得a＝.

所以圓M的方程為＋(y－r－3)2＝r2.

(2)假設存在定直線l與動圓M均相切．當定直線的斜率不存在時，不合題意．

設直線l：y＝kx＋b，則＝r對任意r＞0恒成立．

由，得r2＋(k－2)(b－3)r＋(b－3)2＝(1＋k2)r2.

所以解得或

所以存在兩條直線y＝3和4x＋3y－9＝0與動圓M均相切.