Question

設點F(0，

3

2

)，動圓P經過點F且和直線y=-

3

2

相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（1）求曲線W的方程；
（2）過點F作互相垂直的直線l₁，l₂，分別交曲線W于A，B和C，D．求四邊形ABCD面積的最小值．
（3）分別在A、B兩點作曲線W的切線，這兩條切線的交點記為Q．求證：QA⊥QB，且點Q在某一定直線上．

Answer 1

分析：（1）過點P作PN垂直于直線y=-

3

2

于點N，根據動圓P經過點F且和直線y=-

3

2

相切，可得|PF|=|PN|，從而可得動點P的軌跡是以為焦點，直線y=-

3

2

為準線的拋物線，故可求曲線W的方程；
（2）設直線l₁，l₂的方程代入x²=6y，利用韋達定理，計算弦長，表示出四邊形ABCD的面積，利用基本不等式即可求得四邊形ACBD面積的最小值；
（3）證明QA⊥QB，設出QA、QB的方程，聯立，求得交點Q的坐標，即可得到結論．

解答：（1）解：過點P作PN垂直于直線y=-

3

2

于點N，依題意
∵動圓P經過點F且和直線y=-

3

2

相切，∴|PF|=|PN|
∴動點P的軌跡是以為焦點，直線y=-

3

2

為準線的拋物線．…（1分）
即曲線W的方程是x²=6y…（2分）
（2）解：依題意，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，設直線l₁的方程為y=kx+

3

2

，
由l₁⊥l₂得l₂的方程為=-

1

k

x+

3

2

，
將y=kx+

3

2

代入x²=6y，化簡得x²-6kx-9=0…（3分）
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=6(k2+1)
同理可得|CD|=6(

1

k2

+1)…（5分）
∴四邊形ABCD的面積S=

1

2

|AB|•|CD|=18(k2+1)(

1

k2+1

)=18(k2+

1

k2

+2)≥72
當且僅當k2=

1

k2

，即k=±1時，S_min=72
故四邊形ACBD面積的最小值是72．…（7分）
（3）證明：由（1）知W的方程可化為y=

1

6

x2，∴y′=

1

3

x
∵QA的斜率kQA=

1

3

x1，kQB=

1

3

x2
∴kQA•kQB=

1

3

x1•

1

3

x2=

1

9

x1•x2=

1

9

•(-9)=-1
∴QA⊥QB…（9分）
QA的方程為y-y1=

1

3

x1(x-x1)，∴y=

1

3

x1x-

1

6

x

2 1

QB的方程為y-y2=

1

3

x2(x-x2)，∴y=

1

3

x2x-

1

6

x

2 2

解方程組

y= 1 3 x1x- 1 6 x 2 1 y= 1 3 x2x- 1 6 x 2 2

得交點Q(

x1+x2

2

，-

3

2

)，即Q（2k，-

3

2

）…（11分）
當k取任何非零實數時，點Q總在定直線y=-

3

2

上…（12分）

點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關系，考查四邊形面積的計算，考查直線的方程，直線與拋物線方程聯立是關鍵．