Question

設(shè)點F(0，

3

2

)，動圓P經(jīng)過點F且和直線y=-

3

2

相切．記動圓的圓心P的軌跡為曲線W．
（Ⅰ）求曲線W的方程；
（Ⅱ）過點F作互相垂直的直線l₁，l₂，分別交曲線W于A，B和C，D．求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知，動圓到定點的距離與到定直線的距離相等，其軌跡為拋物線，寫出其方程．
（2）設(shè)出l₁的方程y=kx+

3

2

，聯(lián)立l₁和拋物線的方程，將AB的長度用k表示出來，同理，l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

，將CD的長度也用k表示出來．再由四邊形面積公式S=

1

2

×|AB|•|CD|，算出表達式，再用不等式放縮即得．

解答：解：（Ⅰ）過點P作PN垂直直線y=-

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2

于點N．
依題意得|PF|=|PN|，
所以動點P的軌跡為是以F(0，

3

2

)為焦點，直線y=-

3

2

為準線的拋物線，
即曲線W的方程是x²=6y
（Ⅱ）依題意，直線l₁，l₂的斜率存在且不為0，
設(shè)直線l₁的方程為y=kx+

3

2

，
由l₁⊥l₂得l₂的方程為y=-

1

k

x+

3

2

．
將y=kx+

3

2

代入x²=6y，化簡得x²-6kx-9=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=6k，x₁x₂=-9．
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=6(k2+1)，
同理可得|CD|=6(

1

k2

+1)．
∴四邊形ACBD的面積S=

1

2

|AB|•|CD|=18(k2+1)(

1

k2

+1)=18(k2+

1

k2

+2)≥72，
當且僅當k2=

1

k2

，即k=±1時，S_min=72．
故四邊形ACBD面積的最小值是72．

點評：高考中對圓錐曲線基本定義的考查仍是一個重點，本題中，對于對角線互相垂直的四邊形的面積，可用兩條對角線長的乘積的

1

2

表示．