Question

如圖，在平面直角坐標系中，以原點為圓心，單位長度1為半徑的圓上有兩點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．（0＜α＜β＜π）
（1）試用A、B兩點的坐標表示向量

OA

與

OB

的夾角β-α的余弦值；
（2）計算cos15°的值；
（3）若K

OA

+

OB

與

OA

-K

OB

的長度相等（其中K為非零實數(shù)），求β-α的值．

Answer 1

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運算法則表示即可；
（2）將15°變形為45°-30°，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡即可求出值；
（3）利用平面向量的數(shù)量積運算法則，根據已知長度相等列出關系式，即可求出β-α的度數(shù)．

解答：解：（1）∵

OA

=（cosα，sinα），

OB

=（cosβ，sinβ），
∴

OA

•

OB

=|

OA

|•|

OB

|•cos（β-α）=cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°=

6 + 2

4

；
（3）根據題意得：（kcosα+cosβ）²+（ksinα+sinβ）²=（cosα-kcosβ）²+（sinα-ksinβ）²，
整理得：4kcos（β-α）=0，
∵k≠0，∴cos（β-α）=0，
∵0＜α＜β＜π，
∴0＜β-α＜π，
∴α-β=

π

2

．

點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數(shù)公式，平面向量的數(shù)量積運算，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．