Question

設函數f(x)＝x²－mlnx，g(x)＝x²－x＋a.
(1)當a＝0時，f(x)≥g(x)在(1，＋∞),上恒成立，求實數m的取值范圍；
(2)當m＝2時，若函數h(x)=f(x)－g(x)在[1,3]上恰有兩個不同的零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

(1)(2)

解析試題分析：(1) 可將問題轉化為 時， 恒成立問題。令，先求導，導數大于0得原函數的增區間，導數小于0得原函數的減區間，根據單調性可求最小值。只需 即可。(2)可將問題轉化為方程,在上恰有兩個相異實根，令。同(1)一樣用導數求函數的單調性然后再求其極值和端點處函數值。比較極值和端點處函數值得大小，畫函數草圖由數形結合分析可知直線應與函數的圖像有2個交點。從而可列出關于的方程。
試題解析：
解：(1)由，可得             1分
，即，記，
則在上恒成立等價于.       3分
求得
當時, ;
當時, .
故在處取得極小值，也是最小值，即，故.
所以，實數的取值范圍為                  5分
(2)函數在上恰有兩個不同的零點
等價于方程,在上恰有兩個相異實根．       6分
令，則.
當時，；
當時，，
∴在上是單調遞減函數，在上是單調遞增            8分
函數．故，
又，，
∵，∴只需，
故a的取值范圍是．                    10分
考點：1導數研究函數的單調性；2用單調性求最值；3數形結合思想。