Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2．
（1）證明：面BDD₁ B₁⊥面ACD₁；
（2）若E是BC₁的中點，P是AC的中點，F是A₁C₁上的點，C₁F=mFA₁，試求m的值，使得EF∥D₁P．

Answer 1

分析：（1）利用四邊形ABCD是正方形可證AC⊥DB，再證AC⊥面BDD₁B₁，然后利用線面垂直證明面面垂直；
（2）A₁C₁與B₁D₁的交點為Q，連BQ，根據D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，則必有EF∥BQ，求得m的值．

解答：解：（1）證明：在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，
故四邊形ABCD是正方形，AC⊥DB，
又∵D₁D⊥面ABCD，AC⊆面ABCD
∴D₁D⊥AC，又D₁D∩DB=D
∴AC⊥面BDD₁B₁
∵AC?面AD₁C
∴平面BDB₁D₁⊥平面ACD₁          
（2）：記A₁C₁與B₁D₁的交點為Q，連BQ，
∵P是AC的中點，Q為D₁B₁的中點，∴PB∥D₁Q且PB=D₁Q，即四邊形PBQD₁為平行四邊形，
∴D₁P∥BQ，要使得EF∥D₁P，則必有EF∥BQ
在△QBC₁中，E是BC₁的中點，F是QC₁上的點，
∴F是QC₁的中點，C₁F=

1

2

C₁Q=

1

4

C₁A₁，即C₁F=

1

3

FA₁，
故所求m的值是

1

3

．

點評：本題考查面面垂直的判定及線線垂直的判定，考查學生的空間想象能力，邏輯推理能力．