Question

【題目】設常數．在平面直角坐標系中，已知點，直線：，曲線：．與軸交于點、與交于點．、分別是曲線與線段上的動點．

（1）用表示點到點距離；

（2）設，，線段的中點在直線，求的面積；

（3）設，是否存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上？若存在，求點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析.

【解析】

（1）方法一：設B點坐標，根據兩點之間的距離公式，即可求得|BF|；

方法二：根據拋物線的定義，即可求得|BF|；

（2）根據拋物線的性質，求得Q點坐標，即可求得OD的中點坐標，即可求得直線PF的方程，代入拋物線方程，即可求得P點坐標，即可求得△AQP的面積；

（3）設P及E點坐標，根據直線kPFkFQ=﹣1，求得直線QF的方程，求得Q點坐標，根據+=，求得E點坐標，則（）2=8（+6），即可求得P點坐標．

（1）方法一：由題意可知：設，

則，

∴；

方法二：由題意可知：設，

由拋物線的性質可知：，∴；

（2），，，則，

∴，∴，設的中點，

，

，則直線方程：，

聯立，整理得：，

解得：，（舍去），

∴的面積；

（3）存在，設，，則，，

直線方程為，∴，，

根據，則，

∴，解得：，

∴存在以、為鄰邊的矩形，使得點在上，且．