Question

（2011•豐臺區二模）已知橢圓C的長軸長為2

2

，一個焦點的坐標為（1，0）．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設直線l：y=kx與橢圓C交于A，B兩點，點P為橢圓的右頂點．
①若直線l斜率k=1，求△ABP的面積；
②若直線AP，BP的斜率分別為k₁，k₂，求證：k₁•k₂為定值．

Answer 1

分析：（1）由題意可知橢圓的焦點在x軸上，且c=1，2a=2

2

，結合b²=a²-c²=可求b，進而可求橢圓的方程
（2）①當k=1時，直線AB的方程為y=x，聯立直線方程與橢圓的方程可求A，B，由橢圓的性質可求P，而S△ABP=

1

2

AB•d（d為P到直線y=x的距離）可求
②證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．P(

2

，0)，聯立方程

x2+2y2=2 y=kx

，消y整理得 （2k²+1）x²=2，可求A，B的坐標，代入斜率公式可得kAP•kBP=

y1

x1- 2

•

y2

x2- 2

=

y1y2

x1x2- 2 (x1+x2)+2

，可證

解答：解：（1）依題意橢圓的焦點在x軸上，且c=1，2a=2

2

，…（1分）
∴a=

2

，b²=a²-c²=1．                                     …（2分）
∴橢圓C的標準方程為

x2

2

+y2=1．                                   …（4分）
（2）①

x2+2y2=2 y=x

…（5分）
∴

x= 6 3 y= 6 3

或 

x=- 6 3 y=- 6 3

，…（7分）
即A(

6

3

，

6

3

)，B(-

6

3

，-

6

3

)，P(

2

，0)．
所以S△ABP=

1

2

•

2

•

2 6

3

=

2 3

3

．                                     …（9分）
②證明：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
橢圓的右頂點為P(

2

，0)
聯立方程

x2+2y2=2 y=kx

，消y整理得 （2k²+1）x²=2，
不妨設x₁＞0＞x₂，
∴x1=

2 2k2+1

，x2=-

2 2k2+1

；y1=k

2 2k2+1

，y2=-k

2 2k2+1

．…（12分）kAP•kBP=

y1

x1- 2

•

y2

x2- 2

=

y1y2

x1x2- 2 (x1+x2)+2

…（13分）=

-k2 2 2k2+1

2- 2 2k2+1

=

-2k2

-2+4k2+2

=-

1

2

∴k_AP•k_BP為定值-

1

2

．                             …（14分）

點評：本題主要考察了由橢圓的性質求解橢圓的方程，直線與橢圓的相交關系的應用，由兩點確定直線的斜率公式的應用，屬于基本知識的綜合應用．