Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長都相等，A₁在底面ABC上的射影為BC的中點，則異面直線A₁B與CC₁所成的角的余弦值為（　　）

• A、

  7

  4

• B、

  5

  4

• C、

  3

  4

• D、

  2

  4

Answer 1

分析：設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長都相等均為1，BC的中點為O，則由題意得 A₁O⊥面ABC．勾股定理求的
  A₁O 的長，和A₁B的長，△A₁BA中，由余弦定理可得cos∠AA₁B 的值，即為所求．

解答：解：設三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱與底面邊長都相等均為1，BC的中點為O，則由題意得 A₁O⊥面ABC．
則 A₁O=

A1A2-AO2

=

1- 3 4

=

1

2

．
Rt△則 A₁OB中，A₁B=

A1O2+BO2

=

1 4 + 1 4

=

2

2

．
△A₁BA中，由余弦定理可得 AB²=A₁B²+A₁A²-2A₁A•A₁Bcos∠AA₁B，
即 1=

2

4

+1-2×1×

2

2

cos∠AA₁B，∴cos∠AA₁B=

2

4

．
由題意可得∠AA₁B即為異面直線A₁B與CC₁所成的角，
故選 D．

點評：本題考查異面直線所成的角的定義，勾股定理、余弦定理的應用，求出A₁B的長度是解題的關鍵，屬于中檔題．