Question

雙曲線=1(b∈N)的兩個焦點F₁、F₂，P為雙曲線上一點，|OP|＜5,|PF₁|,|F₁F₂|,|PF₂|成等比數列，則b²=_________.

Answer 1

1

 設F₁(－c,0）、F₂(c,0)、P(x,y),則|PF₁|²+|PF₂|²=2(|PO|²+|F₁O|²)＜2(5²+c²),
即|PF₁|²+|PF₂|²＜50+2c²,
又∵|PF₁|²+|PF₂|²=(|PF₁|－|PF₂|)²+2|PF₁|·|PF₂|,
依雙曲線定義，有|PF₁|－|PF₂|=4,
依已知條件有|PF₁|·|PF₂|=|F₁F₂|²=4c²
∴16+8c²＜50+2c²,∴c²＜,
又∵c²=4+b²＜,∴b²＜,∴b²=1.