Question

如圖，在五面體ABCDEF中，點O是矩形ABCD的對角線的交點，面CDE是等邊三角形，棱EF∥BC且EF=

3

，BC=2

3

，CD=2，二面角E-CD-B等于60°．
（1）證明：面EOF⊥平面CDF；
（2）求B到面CDF的距離；
（3）求BF與面CDF所成的角．

Answer 1

分析：法一：（1）設CD的中點為G，連接OG、EG，要證明面EOF⊥平面CDF，只需證明面EOF內的直線EO垂直平面CDF即可．
（2）EO⊥面CDF，所以B到面CDF的距離為O到面CDF的距離的兩倍，求解即可．
（3）過F作面ABCD的垂線，垂足為H，由B到面CDF的距離，解三角形求BF與面CDF所成的角．
法二：建立空間直角坐標系，利用向量的數量積證明垂直，證明（1）；
平面的法向量求出點到平面的距離，解答（2）；
向量的數量積求出直線與平面所成的角，解答（3）．

解答：解：法一：（1）證明：設CD的中點為G，連接OG、EG
顯然EF∥OG且EF=OG
∴四邊形FOGE是平行四邊形
∴FO∥EG，EF=OG=

1

2

BC=

3

2

CD
而△ECD是正三角形，
∴EG=

3

2

CD
∴平行四邊形FOGE是菱形，EO⊥FG
又CD⊥OG，CD⊥EG，
∴CD⊥平面OGE，
而EO?平面OEG
，∴CD⊥EO
而FG與CD相交，故EO⊥平面CDF
∴面EOF⊥CDF
（2）EO⊥面CDF，
所以O到面CDF的距離為

1

2

OE=

3

2

又O為BD中點，
所以B到面CDF的距離為O到面CDF的距離的兩倍
∴B到面CDF的距離為

3

（3）過F作面ABCD的垂線，垂足為H，
則HG=

3 3

2

，FH=

3

2

，BF2=BH2+FH2=1+(

3

2

)2+(

3

2

)2=4
由（2）B到面CDF的距離為

3

如果BF與面CDF所成的角θ，則sinθ=

3

BF

=

3

2

∴BF與面CDF所成的角為

π

3

法二：（1）建立如圖空間直角坐標系，
則C(1，

3

，0)，D(-1，

3

，0)，E(0，

3

2

，

3

2

)，F(0，-

3

2

，

3

2

)
∵

OE • CF =0 OE • DF =0

∴OE⊥面CDF，
∴面EOF⊥面CDF
（2）∵B(1，-

3

，0)，

BF

=(-1，

3

2

，

3

2

)∴d=

BF • OE

| OE |

=

3

3

=

3

（3）cos＜

BF

，

OE

＞=

BF • OE

| BF |•| OE |

=

3

2

∴BF與面CDF所成的角為

π

3

點評：本題考查直線與平面所成的角，平面與平面的垂直，點到平面的距離，既考查證明題又考查計算題，考查邏輯思維能力空間想象能力，是高考常考點，是中檔題．