Question

【題目】在下列命題中

①函數f（x）=在定義域內為單調遞減函數；

②已知定義在R上周期為4的函數f（x）滿足f（2﹣x）=f（2+x），則f（x）一定為偶函數；

③若f（x）為奇函數，則f（x）dx=2f（x）dx（a＞0）；

④已知函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），則a+b+c=0是f（x）有極值的充分不必要條件；

⑤已知函數f（x）=x﹣sinx，若a+b＞0，則f（a）+f（b）＞0．

其中正確命題的序號為________（寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

【答案】②④⑤

【解析】對于①，函數f（x）= 在定義域內的區間（﹣∞，0）和（0，+∞）上是減函數， ∴①錯誤． 對于②，由題意得f（2﹣（x+2））=f（2+（x+2）），即f（﹣x）=f（4+x）=f（x）， ∴f（x）是偶函數；∴②正確． 對于③，根據定積分的幾何意義是函數圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積的代數和，且被積函數f（x）是奇函數， 得f（x）dx=0，∴③錯誤． 對于④，∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c；

當a+b+c=0時，（2b）2﹣4×3a×（﹣a﹣b）=4b2+12a2+12ab=4 +3a2＞0，∴f′（x）有二不等零點，f（x）有極值； 當f（x）有極值時，f′（x）=3ax2+2bx+c有二不等零點，即4b2﹣12ac＞0，不能得出a+b+c=0； ∴是充分不必要條件，④正確．

對于⑤，∵f（x）=x﹣sinx，∴f′（x）=1﹣cosx≥0，∴f（x）是增函數，∴當a+b＞0時，a＞﹣b，∴f（a）＞f（﹣b）； 又∵f（﹣x）=﹣x﹣sin（﹣x）=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）是奇函數，∴f（﹣b）=﹣f（b）； ∴f（a）＞﹣f（b），即f（a）+f（b）＞0；∴⑤正確． 綜上，正確的命題是②④⑤；

故答案為：②④⑤．