Question

函數f（x）的定義域為（0，+∞），且對一切x＞0，y＞0都有f（

x

y

）=f（x）-f（y），當x＞1時，有f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判斷f（x）的單調性并加以證明；
（3）若f（4）=2，求f（x）在[1，16]上的值域．

Answer 1

分析：（1）在恒等式中，令x=y，即可求得f（1）的值；
（2）設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，利用恒等式得到f（x₂）-f（x₁），根據題中條件，判斷f（x₂）-f（x₁）的正負，利用函數單調性的定義，即可證明函數的單調性；
（3）根據（2）的結論，將值域問題轉化為求最值，根據f（4）=2，結合f（

x

y

）=f（x）-f（y），賦值x=16，y=4，代入即可求得f（16），從而求得f（x）在[1，16]上的值域．

解答：解：（1）∵當x＞0，y＞0時，f(

x

y

)=f（x）-f（y），
∴令x=y＞0，則f（1）=f（x）-f（x）=0，
∴f（1）=0；
（2）f（x）在（0，+∞）上是遞增函數．
證明：設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∵f（

x

y

）=f（x）-f（y），
∴f（x₂）-f（x₁）=f(

x2

x1

)，
∵x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1，
∵當x＞1時，有f（x）＞0，
∴f(

x2

x1

)＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數；
（3）由（2）可知，f（x）在[1，16]上是增函數，
∴f （x）_min=f（1）=0，f（x）_max=f（16），
∵f（4）=2，且f(

x

y

)=f（x）-f（y），
∴f(

16

4

)=f（16）-f（4），
∵f（4）=2，
∴f（16）=2f（4）=4，
∴f （x）_min=0，f（x）_max=4，
∴f（x）在[1，16]上的值域為[0，4]．

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數的函數值，同時考查了函數單調性的判斷與證明，注意一般單調性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設值，作差，化簡，定號，下結論．屬于中檔題．