Question

（理）（1）設x、y是不全為零的實數，試比較2x²+y²與x²+xy的大小；
（2）設a，b，c為正數，且a²+b²+c²=1，求證：

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

-

2(a3+b3+c3)

abc

≥3．

Answer 1

分析：（1）解法1：利用作差法；解法2：利用分類討論思想，分xy＜0與xy＞0討論即可證得結論；
（2）利用作差法，通過通分、分組、配方等一系列轉化，即可證得結論．

解答：證明：（1）證法1：∵x、y是不全為零的實數，
∴2x²+y²-（x²+xy）
=x²+y²-xy
=(x-

1

2

y)2+

3

4

y²＞0，
∴2x²+y²＞x²+xy．
證法2：當xy＜0時，x²+xy＜2x²+y²；
當xy＞0時，作差：x²+y²-xy≥2xy-xy=xy＞0；
又因為x、y是不全為零的實數，
∴當xy=0時，2x²+y²＞x²+xy．
綜上，2x²+y²＞x²+xy．
（2）證明：∵

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

-

2(a3+b3+c3)

abc

-3
=

a2+b2+c2

a2

+

a2+b2+c2

b2

+

a2+b2+c2

c2

-

2(a3+b3+c3)

abc

-3
=a²（

1

b2

+

1

c2

）+b²（

1

a2

+

1

c2

）+c²（

1

a2

+

1

b2

）-2（

a2

bc

+

b2

ac

+

c2

ab

）
=a²(

1

b

-

1

c

)2+b²(

1

c

-

1

a

)2+c²(

1

a

-

1

b

)2≥0（當且僅當a=b=c時，取得等號），
∴

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

-

2(a3+b3+c3)

abc

≥3．

點評：本題考查不等式的證明，著重考查作差法，考查通分、配方、分類討論等方法，運用轉化思想，推理證明，屬于難題．