Question

已知數列a_n的相鄰兩項a_n，a_n+1滿足an+an+1=2n，且a₁=1
（1）求證an-

1

3

×2n是等比數列
（2）求數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由an+an+1=2n，得an+1-

1

3

×2n+1=-（an-

1

3

×2n），由此能證明數列{an-

1

3

×2n}是等比數列．
（2）由an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，知S_n=

1

3

{（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[-（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}，由此能求出數列{a_n}的通項公式a_n及前n項和S_n．

解答：解：（1）由an+an+1=2n，
得an+1-

1

3

×2n+1=-（an-

1

3

×2n），
故數列{an-

1

3

×2n}是首項為a1-

2

3

=

1

3

，公比為-1的等比數列．
（2）由（1）知an-

1

3

×2n=

1

3

×(-1)n-1，
即an=

1

3

[2n-(-1)n]，
S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=

1

3

{（2+2²+2³+…+2ⁿ）-[-（-1）+（-1）²+…+（-1）ⁿ]}
=

1

3

（2ⁿ⁺¹-2-

(-1)n-1

2

）
=

1

3

•2n+1-

1

6

（-1）ⁿ-

1

2

．

點評：本題考查等比數列的證明，考查數列的通項公式和數列的前n項和的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．