Question

已知數列{a_n}滿足a₁=-1，an+1=

(3n+3)an+4n+6

n

，數列{b_n}滿足bn=

3n-1

an+2

（1）求證：數列{

an+2

n

}為等比數列，并求數列{a_n}的通項公式．
（2）求證：當n≥2時，bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

-

1

2n+1

（3）設數列{b_n}的前n項和為{s_n}，求證：當n≥2時，sn2＞2(

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

)．

Answer 1

分析：（1）根據目標，可構造數列{

an+2

n

}，只需對條件an+1=

(3n+3)an+4n+6

n

進行化簡，從而求數列{a_n}的通項公式．
（2）利用數學歸納法證明，首先證明n=2時命題成立．假設n=k（k≥2）時命題成立，再證明n=k+1時命題也成立
（3）當n≥2時，bn=sn-sn-1=

1

n

，即sn-

1

n

=sn-1，將其平方，再疊加即可證明．

解答：解：（1）由題意

an+1

n+1

=3

an

n

+

6

n

-

2

n+1

，即

an+1+2

n+1

=3

an+2

n

∴a_n=n•3^n-1-2…（4分）
（2）當n=2時，b3+b4=

1

3

+

1

4

＜

4

5

-

1

5

即n=2時命題成立
假設n=k（k≥2）時命題成立，即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

2k

＜

4

5

-

1

2k+1

當n=k+1時，

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+1

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

4

5

-

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+3

即n=k+1時命題也成立
綜上，對于任意n≥2，bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

-

1

2n+1

…（8分）
（3）bn=

1

n

當n≥2時，bn=sn-sn-1=

1

n

，即sn-

1

n

=sn-1
平方則sn2-

2sn

n

+

1

n2

=sn-12∴sn2-sn-12=

2sn

n

-

1

n2

疊加得sn2-1=2(

sn

2

+

sn

3

+…+

sn

n

)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)
∴sn2=2(

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

)+1-(

1

22

+…+

1

n2

)
∵

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1
∴sn2＞2(

s2

2

+

s3

3

+…+

sn

n

)…（13分）

點評：本題主要考查構造法證明等比數列，從而求出數列的通項，對于不等式的證明由于與自然數有關，故通常可以利用數學歸納法進行證明．