Question

已知奇函數y=f（x）在定義域（-1，1）上是減函數，當0＜x＜1時f（x）=-x³-x²
①求函數f（x）的解析式；
②若有f（1-a）+f（1-2a）＜0，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：①利用奇函數的定義可求出當-1＜x≤0時的解析式；②利用奇函數和單調性可去掉對應法則f，使抽象式變為顯性式．

解答：解：①∵函數y=f（x）是在定義域（-1，1）上的奇函數，
∴對于任意x∈（-1，1），則f（-x）=-f（x），且f（0）=0．
設-1＜x＜0，則0＜-x＜1，據已知得f（x）=-f（-x）=-[-（-x）³-（-x）²]=-x³+x²．
綜上可知：f（x）=

-x3-x2，當0＜x＜1時 -x3+x2，當-1＜x≤0時

②∵f（1-a）+f（1-2a）＜0，
∴f（1-a）＜-f（1-2a），
又∵函數y=f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數，
∴f（1-a）＜f（2a-1），
又∵函數y=f（x）在定義域（-1，1）上是減函數，
∴-1＜2a-1＜1-a＜1，
解之得0＜a＜

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點評：本題考查了函數的奇偶性、單調性，深刻理解以上性質是解決問題的關鍵．