Question

【題目】設函數f（x）= cos2x+sin2（x+ ）． （Ⅰ）求f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈[﹣ ， ）時，求f（x）的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）= cos2x+sin2（x+ ）． f（x）= cos2x+
f（x）= cos2x+ sin2x+
f（x）=sin（2x+ ）+ ，
最小正周期 ，
∵sinx單調遞增區間為[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，（k∈Z）
∴2x+ ∈[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，（k∈Z）
解得：x∈[ ， ]，（k∈Z）
∴f（x）的最小正周期為π；單調遞增區間為[ ， ]，（k∈Z）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=sin（2x+ ）+
∵x∈[﹣ ， ），
∴2x+ ∈[ ， ]，
由三角函數的圖像和性質：
可知：當2x+ = 時，f（x）取得最小值，即 =0．
當2x+ = 時，f（x）取得最大值，即 ．
∴x∈[﹣ ， ）時，f（x）的取值范圍在
【解析】（Ⅰ）先利用兩角和余差的基本公式將函數化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數的最小正周期，最后將內層函數看作整體，放到正弦函數的增區間上，解不等式得函數的單調遞增區間；（Ⅱ）x∈[﹣ ， ）時，求出內層函數的取值范圍，結合三角函數的圖像和性質，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的取值范圍．