Question

設函數f(x)=

3

sin(2x+

π

6

)（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小值，并求使f（x）取得最小值的x的集合；
（Ⅱ）是否可以由函數f（x）的圖象經過平移變換得到一個偶函數的圖象？若可以，說明怎樣變換得到；若不可以，說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦函數的最值，即可求出函數的最小值及取得最小值的對應自變量x取值集合；
（Ⅱ）根據左加右減法則和誘導公式，對解析式進行變形即可．

解答：解：（Ⅰ）∵x∈R∴當sin(2x+

π

6

)=-1時，f(x)min=-

3

，
此時2x+

π

6

=-

π

2

+2kπ，k∈Z，即x=-

π

3

+kπ，k∈Z，
所以，=（sinθ，2）的最小值為-

3

，此時x 的集合{x|x=-

π

3

+kπ，k∈Z}；
（Ⅱ）可以，
如把函數f(x)=

3

sin(2x+

π

6

)的圖象向左平移

π

6

個單位長度，
得到偶函數y=

3

sin[2(x+

π

6

)+

π

6

]=

3

sin(2x+

π

2

)=

3

cos2x的圖象．

點評：本題主要考查正弦函數的單調性，三角函數圖象的變換，屬于基礎題．