Question

（12分）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC為等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分別為C₁C、BC的中點。
（1）求證：B₁F⊥平面AEF
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值。

Answer 1

（1）見解析；（2）余弦值為。

本試題主要是考查了立體幾何中線面垂直的性質定理和線面垂直的判定定理和二面角的求解的綜合運用。
（1）求證B₁F⊥平面AEF，只需證明B₁F垂直平面AEF內的兩條相交直線AF、EF即可；
（2）利用空間向量建立空間直角坐標系，然后分析法向量的坐標，結合向量的數量積得到結論。
解（1）B₁F⊥AF , B₁F⊥EF
所以B₁F⊥平面 AEF（6分）
（2）余弦值為（6分）