Question

【題目】已知 為定義在 上的偶函數，當 時，有 ，且當 時， ，給出下列命題：
① 的值為 ；
②函數 在定義域上為周期是2的周期函數；
③直線 與函數 的圖像有1個交點；
④函數 的值域為 .
其中正確的命題序號有 .

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：∵f（x）為定義在R上的偶函數，

且當x≥0時，有f（x+1）=﹣f（x），

且當x∈[0，1）時，f（x）=log2（x+1），

故函數f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：f（2013）+f（﹣2014）=0+0=0，故①正確；

函數f（x）在定義域上不是周期函數，故②錯誤；

直線y=x與函數f（x）的圖象有1個交點，故③正確；

函數f（x）的值域為（﹣1，1），故④正確；

故正確的命題序號有：①③④

故答案為：①③④

根據已知中函數的奇偶性，及當 x ≥ 0 時，有 f ( x + 1 ) = f ( x ) 可以得出函數是周期函數；再由部份區間上的解析式，畫出函數的圖象，可對各選項分析得出正確選項。