Question

2008年10月10日至15日，孝感市第三屆運動會勝利召開．在安全保障方面，警方從警犬訓練基地挑選防暴犬時，從體能、嗅覺、反應三項指標進行檢測，如果這三項中至少有兩項通過即可入選．假定某基地有4只警犬（分別記為A、B、C、D）擬參加挑選，且每只犬能通過體能、嗅覺、反應的概率分別為

1

3

，

1

3

，

1

2

，這三項測試能否通過相互之間沒有影響．
（1）求犬A能夠入選的概率；
（2）規定：每有一只防暴犬入選，則相應的訓練基地積3分，否則積0分．求該基地總積分的期望．

Answer 1

分析：（1）將事件：“犬A能夠入選”分解為四個事件的和，再分別用相互獨立事件的概率乘法公式算出相應的概率，最后用概率的加法公式將所得概率相加，就得到犬A能夠入選的概率；
（2）解法一：先通過基本事件可以數出變量ξ的取值有五種：0，3，6，9，12，再分別求出這五個變量值對應的概率，列出離散型隨機變量的分布表格，最后根據這個二維表格可以算出基地總積分的期望值．
解法二：因為該基地總積分為ξ，ξ服從二項分布：η～B(4，

1

3

)，利用二項分布的公式可以求出E（η）=

4

3

，最后可以算出Eξ=E（3η）=4．

解答：解：（1）記警犬A能夠入選為事件A，則
P（A）=

2

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

2

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

+

1

3

×

1

3

×

1

2

=

2+2+1+1

18

=

1

3

-------（5分）
（2）解法一：記該基地總積分為ξ，則ξ的所有可能取值為：0，3，6，9，12．------（6分）
且P(ξ=0)=(1-

1

3

)4=

16

81

； 
 P(ξ=3)=

C

1 4

•

1

3

•(1-

1

3

)3=

32

81

；
P(ξ=6)=

C

2 4

•(

1

3

)2•(1-

1

3

)2=

8

27

；
P(ξ=9)=

C

3 4

•(

1

3

)3(1-

1

3

)=

8

81

；
P(ξ=12)=(

1

3

)4=

1

81

ξ	0	3	6	9	12
P	16 81	32 81	8 27	8 81	1 81

∴ξ的分布列為------------------------------（10分）
故期望Eξ=0×

16

81

+3×

32

81

+6×

8

27

+9×

8

81

+12×

1

81

=4------------------------------12
解法二：記該基地總積分為ξ，η只防爆犬入選，則η的所有可能值為0，1，2，3，4（6分）
因而η～B(4，

1

3

)，故Eη=4×

1

3

=

4

3

．（10分）
又ξ=3η
∴Eξ=E（3η）=3Eη=4．（12分）
答：（I）犬A能夠入選的概率為

1

3

；（II）該基地總積分的期望為4．

點評：本題考查了離散型隨機變量的期望與方差的算法，屬于中檔題．讀懂題中的概率，準確運用概率的乘法公式和加法公式算出相應變量值的概率，利用隨機變量的二維表格進行計算，是解決本題的關鍵．