Question

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的一個焦點是F(1,0)，且離心率為.

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)設經過點F的直線交橢圓C于M，N兩點，線段MN的垂直平分線交y軸于點P(0，y₀)，求y₀的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1) ＋＝1. (2)

【解析】

試題分析：解：(Ⅰ)設橢圓C的半焦距是c.依題意，得c＝1.

因為橢圓C的離心率為，

所以a＝2c＝2，b²＝a²－c²＝3.   2分

故橢圓C的方程為＋＝1.   3分

(Ⅱ)當MN⊥x軸時，顯然y₀＝0.   4分

當MN與x軸不垂直時，可設直線MN的方程為

y＝k(x－1)(k≠0)．  5分

由

消去y并整理得(3＋4k²)x²－8k²x＋4(k²－3)＝0.   6分

設M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)，線段MN的中點為Q(x₃，y₃)，

則x₁＋x₂＝.

所以x₃＝＝，y₃＝k(x₃－1)＝.  8分

線段MN的垂直平分線的方程為

y＋＝－.

在上述方程中，令x＝0，得y₀＝＝.  9分

當k<0時，＋4k≤－4；當k>0時， ＋4k≥4.

所以－≤y₀<0或0<y₀≤.  11分

綜上，y₀的取值范圍是.  12分

考點：本試題考查了橢圓的知識。

點評：對于橢圓方程的求解主要是根據其性質滿足的的a,b,c的關系式來解得，同時對于直線與橢圓的相交問題，一般采用聯立方程組的思想，結合韋達定理和判別式來分析參數的范圍等等，或者研究最值，屬于中檔題。