Question

已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的離心率為，過右焦點F且斜率為1的直線交橢圓C于A，B兩點，N為弦AB的中點。

（1）求直線ON（O為坐標原點）的斜率K_ON ；

（2）對于橢圓C上任意一點M ，試證：總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

Answer 1

（1）

（2）見解析

解析:

 (1）設橢圓的焦距為2c,因為，所以有，故有。從而橢圓C的方程可化為：      ①                     ………2分

易知右焦點F的坐標為（），

據題意有AB所在的直線方程為：   ②                     ………3分

由①，②有：         ③

設，弦AB的中點，由③及韋達定理有：

 

所以，即為所求。                                    ………5分

(2）顯然與可作為平面向量的一組基底，由平面向量基本定理，對于這一平面內的向量，有且只有一對實數，使得等式成立。設，由1）中各點的坐標有：

，所以

。                                   ………7分

又點在橢圓C上，所以有整理為。           ④

由③有：。所以

   ⑤

又A﹑B在橢圓上，故有                ⑥

將⑤，⑥代入④可得：。                                ………11分

對于橢圓上的每一個點，總存在一對實數，使等式成立，而

在直角坐標系中，取點P（），設以x軸正半軸為始邊，以射線OP為終邊的角為，顯然 。

也就是：對于橢圓C上任意一點M ，總存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。