Question

（1）若x、y為正整數，且滿足

4

x

+

16

y

=1，求x+y的最小值．
（2）圓O₁和圓O₂的極坐標方程分別為ρ=4cosθ，ρ=-4sinθ，求經過兩圓圓心的直線的直角坐標方程．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標方程,簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用,坐標系和參數方程

分析：（1）由x+y=（x+y）（

4

x

+

16

y

=1），展開后利用基本不等式求x+y的最小值；
（2）化兩圓的極坐標方程為直角坐標方程，求出圓心坐標，然后由直線方程的截距式得答案．

解答： 解：（1）∵

4

x

+

16

y

=1，
∴x+y=（x+y）（

4

x

+

16

y

）
=20+（

4y

x

+

16x

y

）≥20+2

4y x • 16x y

=36．
當且僅當

4 x + 16 y =1 4y x = 16x y

，即x=12，y=24時上式等號成立；
（2）由ρ=4cosθ，得
ρ²=4ρcosθ，即x²+y²-4x=0，
∴圓O₁的圓心坐標為（2，0）．
由ρ=-4sinθ，得
ρ²=-4ρsinθ，即x²+y²+4y=0，
∴圓O₂的圓心坐標為（0，-2）．
∴經過兩圓圓心的直線的直角坐標方程為

x

2

-

y

2

=1．
即x-y-2=0．

點評：本題考查了利用基本不等式求最值，考查了簡單曲線的極坐標方程，是基礎題．