Question

已知函數f（x）=

1

1+x2

．
（1）求證：函數f（x）在（-∞，0]上是增函數．
（2）求函數f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域．

Answer 1

考點：函數單調性的判斷與證明,函數的值域

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數單調性的定義即可證明函數f（x）在（-∞，0]上是增函數．
（2）根據函數單調性的性質即可求函數f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

1+x12

-

1

1+x22

=

x22-x12

(1+x12)(1+x22)

∵x₂²-x₁²=（x₁+x₂）（x₂-x₁），x₁＜x₂≤0
∴x₂-x₁＞0，x₁+x₂＜0，
則f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數f（x）=

1

1+x2

在（-∞，0]上是增函數．
（2）易知函數f（x）在（-∞，0]上是增函數且f（x）是偶函數，
∴函數f（x）在[-3，0]上的值域為：

1

10

≤f（x）≤1．
函數f（x）在[0，2]上是減函數，此時

1

5

≤f（x）≤1．
綜上

1

10

≤f（x）≤1．
即函數f（x）=

1

1+x2

在[-3，2]上的值域[

1

10

，1]．

點評：本題主要考查函數單調性的判斷和應用，根據函數單調性的定義是解決本題的關鍵．