Question

已知集合，A={x|ax+b•2^x-1＜0，0≤a≤2，1≤b≤3}，集合B={x|-1≤x≤0}，若a，b∈N，則A∩B≠∅的概率為

7

9

．

Answer 1

分析：根據題意，分析a、b可得（a，b）的情況，令函數f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，求導分析單調性可得其最小值，要使A∩B≠∅，只須-a+

b

2

-1＜0，分析可得（a，b）能取的情況數，進而由幾何概型的意義可得答案；

解答：解：（1）因為a，b∈N，且0≤a≤2，1≤b≤3，
（a，b）可取（0，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），
（2，1），（2，2），（2，3）共9組．
令函數f（x）=ax+b•2^x-1，x∈[-1，0]，則f′（x）=a+bln2•2^x．
因為a∈[0，2]，b∈[1，3]，所以f'（x）＞0，即f（x）在[-1，0]上是單調增函數．
f（x）在[-1，0]上的最小值為-a+

b

2

-1．
要使A∩B≠∅，只須-a+

b

2

-1＜0，即2a-b+2＞0．
所以（a，b）只能取（0，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）7組．
所以A∩B≠∅的概率為

7

9

．
故答案為：

7

9

．

點評：本題重點考查幾何概型的意義與幾何概型的計算，解題時注意a、b的范圍，考查計算能力．