Question

本小題滿分10分
已知二次函數（其中）.
(1)若函數為偶函數，求的值；
(2)當為偶函數時，若函數，指出在上單調性情況，并證明之.

Answer 1

（1） ；（2）見解析。

本試題主要是考查了二次函數的奇偶性和函數的單調性的運用。
（1）為偶函數，即對任意， 
即，即對任意恒成立，得到a的值為零。
（2）由（1），若為偶函數，則，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，然后結合定義法證明。
解：（1）為偶函數，即對任意，……………2分
即，即對任意恒成立  ……………3分
                                                                     ……………4分
（2）由（1），若為偶函數，則，
當時，在上單調遞減，在上單調遞增，證明如下：      ……………5分
設任意，且
         ……………7分
，且，，即
，即即
在上單調遞減           ……………9分
同理，可得在上單調遞增           ……………10分