Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于、兩點.

（1）求證：“如果直線過點，那么”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（1）設出A，B兩點的坐標根據向量的點乘運算求證即可，

（2）把（1）中題設和結論變換位置然后設出A，B兩點的坐標根據向量運算求證即可．

試題解析：

證明：（1）設過點的直線交拋物線于點，

當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時，

直線與拋物線相交于點、，∴

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，其中

由得，則

又∵， ，∴

綜上所述，命題“如果直線過點，那么”是真命題.

（2）逆命題是：設直線交拋物線于、兩點，

如果，那么直線過點，

該命題是假命題.

例如：取拋物線上的點， .此時

直線的方程為，而不在直線上.