Question

【題目】已知函數f（x）＝|x﹣a|+|x+2|.

（1）若a＝1.解不等式f（x）≤x2﹣1；

（2）若a＞0，b＞0，c＞0.且f（x）的最小值為4﹣b﹣c.求證：.

Answer 1

【答案】（1）{x|x≤﹣2或x≥1}（2）證明見解析

【解析】

（1）對絕對值函數進行分段討論，解不等式即可；

（2）求出的最小值，得到，利用柯西不等式證明即可．

（1）當a＝1時，f（x）＝|x﹣1|+|x+2|，

當x≤﹣2時，﹣2x﹣1≤x2﹣1，得x2+2x≥0，所以x≤﹣2；

當﹣2＜x＜1時，3≤x2﹣1，得x2≥4，無解

當x≥1時，由2x+1≤x2﹣1，得x2﹣2x﹣2≥0，得x≥1，

綜上，不等式的解集為{x|x≤﹣2或x≥1}；

（2）證明：

因為f（x）＝|x﹣a|+|x+2|≥|x﹣a﹣x﹣2|＝|a+2|＝a+2＝4﹣b﹣c，

得a+b+c＝2，

所以2，

當且僅當a+b＝c＝1時成立，

故原命題得證.