Question

有四個關于三角函數的命題：
（1）P₁：?x∈R，sin²

x

2

+cos²

x

2

=

1

2

；    
（2）P₂：?x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；
（3）P₃：?x∈[0，π]，

1-cos2x 2

=sinx；    
（4）P₄：sinx=cosy⇒x+y=

π

2

，其中真命題的是

（2）（3）

．

Answer 1

分析：利用同角三角函數的基本關系式判斷（1）的正誤；
利用特例判斷（2）的正誤；
利用二倍角公式化簡判斷（3）的正誤；
利用三角方程求出x，y的關系，判斷（4）的正誤；

解答：解：（1）：?x∈R，sin²

x

2

+cos²

x

2

=

1

2

； 不滿足同角三角函數的基本關系式的平方關系式，所以不正確；   
（2）：?x、y∈R，sin（x-y）=sinx-siny；例如x=1，y=0，左式成立，所以（2）正確；
（3）：?x∈[0，π]，

1-cos2x 2

=

1-1+2sin2x 2

=sinx；正確．    
（4）：sinx=cosy⇒sinx=sin（

π

2

-y），x=

π

2

-y+2kπ或x=

3π

2

-y+2kπ，k∈Z，所以（4）不正確．
真命題有（2）（3）．
故答案為：（2）（3）．

點評：本題考查特稱命題，全稱命題，命題的真假判斷與應用，考查基本知識的應用．