Question

已知向量

a

=（cosx，sinx），

b

=（sin2x，1-cos2x），

c

=（0，1），x∈（0，π）．
（1）向量

a

，

b

是否共線？證明你的結論；
（2）若函數f（x）=|

b

|-（

a

+

b

）•

c

，求f（x）的最大值，并指出取最大值時對應的x值．

Answer 1

分析：（1）根據所給的兩個向量的坐標，利用向量共線的充要條件進行驗證，得到cosx（1-cos2x）-sinxsin2x=cosx-cosx=0，即向量

a

，

b

是共線
（2）根據所給的向量的坐標表示出要用的函數的解析式，根據三角函數的恒等變形整理出最簡形式，得到函數的最大值和最大值對應的x的值．

解答：解：（1）向量

a

，

b

是共線的．…（2分）
∵cosx（1-cos2x）-sinxsin2x=cosx-cosx=0，
∴向量

a

，

b

是共線．…（6分）
（2）f（x）=|

b

|-（

a

+

b

）•

c

=2sinx-（sinx+2sin²x）=-2(sinx-

1

4

)2+

1

8

∴f（x）的最大值為

1

8

，…（11分）
此時x=arcsin

1

4

或π-arcsin

1

4

．…（13分）

點評：本題考查平面向量的數量積的運算，本題解題的關鍵是把三角函數進行恒等變形，整理出可以用來求最值的形式，本題是一個基礎題．