Question

知橢圓的左右焦點為F₁，F₂，離心率為,以線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為，   (1)求橢圓的方程；(2) 設直線l過橢圓的右焦點F₂（l不垂直坐標軸），且與橢圓交于A、B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點M（m,0），試求m的取值范圍.

Answer 1

（1）（2）.

解析試題分析：（1）由以F₁ F₂為直徑的圓的面積為，確定c,由離心率確定a；（2）聯立方程組，結合韋達定理，得中點坐標，再求解.
試題解析：　(1)由離心率為得: =        ①
又由線段F₁ F₂為直徑的圓的面積為得: c²=, c²=1      ②     2分
由①, ②解得a=,c=1,∴b²=1,∴橢圓方程為       4分
（2）由題意，，設l的方程為，代入橢圓方程，整理得，因為l過橢圓右焦點，所以l與橢圓交與不同兩點A,B.
設，中點為，則,,
,所以AB垂直平分線方程為，
令y=0，得，由于.
考點：橢圓方程的確定，直線與橢圓的位置關系.