Question

已知某幾何體的直觀圖和三視圖如下圖所示, 其正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形.
(Ⅰ)證明：BN⊥平面C₁B₁N；
(Ⅱ)設直線C₁N與平面CNB₁所成的角為，求sin的值；
(Ⅲ)M為AB中點，在CB上是否存在一點P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的長;若不存在，請說明理由.

Answer 1

(Ⅱ)   (Ⅲ)當BP=1時MP∥平面CNB₁

(Ⅰ)證明∵該幾何體的正視圖為矩形,側視圖為等腰直角三角形,俯視圖為直角梯形,
∴BA,BC,BB₁兩兩垂直.
以BA,BC,BB₁分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則N(4,4,0),B₁(0,8,0),C₁(0,8,4),C(0,0,4)
∵=(4,4,0)·(-4,4,0)=-16+16=0
=(4,4,0)·(0,0,4)="0            "
∴BN⊥NB₁, BN⊥B₁C₁且NB₁與B₁C₁相交于B₁,
∴BN⊥平面C₁B₁N;                                           ……4分
(Ⅱ)設=(x,y,z)為平面NCB₁的一個法向量,
則，取=(1,1,2),   

則cosθ=;                           ……9分
(Ⅲ)∵M(2,0,0).設P(0,0,a)為BC上一點,則=(-2,0,a)，∵MP∥平面CNB₁,
∴⊥·=(-2,0,a) ·(1,1,2)=-2+2 a =0 a =1.              
又MP平面CNB₁,∴MP∥平面CNB₁,∴當BP=1時MP∥平面CNB₁. …14分