Question

(1)直線B1F是否平行于平面D1DE？
(2)求二面角C1―BD1―B1的大小；
(3)若點P是棱AB上的一個動點，求四面體DPA1C1體積的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）B1F∥平面D1DE （Ⅱ）60°（Ⅲ）

（Ⅰ）證明：取棱A1B1的中點E1，連結E1D.∵B1E1∥DF且相等 
∴四邊形DFB1E1為平行四邊形  ∴B1F∥DE1.
又∵B1F平面D1DE，易得DE1平面D1DE,∴B1F∥平面D1DE.
（Ⅱ）取A1C1與B1D1的交點O1，在平面BB1D1D上作O1H⊥BD1，
重足為H，連結HC1.∵C1O1⊥B1D1，平面BB1D1D⊥平面A1B1C1D1，
∴C1O1⊥平面BB1D1D，∴C1H⊥BD1
即∠O1HC1是所求二面角的平面角,

∠O1HC1=60°所以二面角C1-BD1-B1的大小是60°
（Ⅲ）延長BA到M，使AM=AB連結MD，則∵AB∥DC且相等，
∴AM∥DC且相等   ∴四邊形MACD是平行四邊形.∴MD∥AC且相等，
又四邊形A1ACC1是平行四邊形   ∴AC∥A1C1且相等,∴MD∥A1C1且相等
∴MD與A1C1確定一個平面，即平面DA1C1，∴M是直線BA與平面DA1C1的交點.
∴當動點P與B重合時，P到平面DA1C1的距離最大，四面體DP A1C1體積最大.
此時四面體DP A1C1為正四面體，