Question

已知總體的各個體的值由小到大依次為2，3，4，7，a，b，12，13.7，17.3，20（a＞0，b＞0），且總體的中位數為10.5，若總體的方差最小時，則函數f（x）=ax²+2bx+1的最小值是

-9.5

．

Answer 1

分析：根據這組數據的中位數，得到a+b=21，求出這組數據的平均數為10，得到總體的方差最小，只要兩個數字的平方和最小，得到結果．

解答：解：∵個體的值由小到大依次為2，3，4，7，a，b，12，13.7，17.3，20（a＞0，b＞0），且總體的中位數為10.5，
∴a+b=21，
∵這組數據的平均數是

1

10

（2+3+4+7+a+b+12+13.7+17.3+20）
=

1

10

（2+3+4+7+21+12+13.7+17.3+20）=10，
若令M=（2-10）²+（3-10）²+（4-10）²+（7-10）²+（12-10）²+（13.7-10）²+（17.3-10）²+（20-10）²
∴這組數據的方差是

1

10

[（2-10）²+（3-10）²+（4-10）²+（7-10）²+（a-10）²+（b-10）²+（12-10）²+（13.7-10）²+（17.3-10）²+（20-10）²]
=

1

10

[M+（a-10）²+（b-10）²]=

1

10

[M+（a-10）²+（11-a）²]=

1

10

(2a2-42a+221+M)，
故當a=-

-42

2×2

=10.5時，總體的方差取得最小值．
∴要使該總體的方差最小，則有a=b=10.5，
則函數f（x）=ax²+2bx+1=10.5x²+21x+1=10.5（x+1）²-9.5≥-9.5
故答案為：-9.5

點評：本題考查方差和中位數，本題解題的關鍵是看清兩個未知量的和，屬于中檔題．