Question

設集合P={b，1}，Q={c，1，2}，P⊆Q．用隨機變量ζ表示方程x²+bx+c=0實根的個數（重根按一個計），若b，c∈{1，2，3，4，5 6，7，8，9}．
（1）求方程x²+bx+c=0有實根的概率；
（2）求ζ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）由已知中合P={b，1}，Q={c，1，2}，b，c∈{1，2，3，4，5 6，7，8，9}．若P⊆Q，則b=2或b=c，列舉出滿足條件的所有基本事件的個數，及滿足條件方程x²+bx+c=0有實根的個數，代入古典概型公式，即可求出答案．
（2）方程x²+bx+c=0實根的個數可以有2個，1個，0個，分別求出其概率，即可得到隨機變量ξ的分布列，代入數學期望公式，即可得到答案．

解答：解：（1）∵P⊆Q
當b=2時，c=3，4，5，6，7，8，9；（2分）
當b＞2時，b=c=3，4，5，6，7，8，9．基本事件總數為14．（3分）
記“方程有實根”為事件A，
若使方程有實根，則△=b²-4c≥0，即b=C=4，5，6，7，8，9，共6種．（2分）
∴P(A)=

6

14

=

3

7

（2分）
（2）ξ的分布列

ξ	0	1	2
P	8 14	1 14	5 14

（3分）
Eξ=

11

14

（2分）

點評：本題考查的知識點是等可能事件的概率，離散型隨機變量的期望，其中根據集合包含關系，列舉出所有基本事件的個數，是解答本題的關鍵．