Question

（2012•長寧區二模）棱錐的底面是正三角形，邊長為1，棱錐的一條側棱與底面垂直，其余兩條側棱與底面所成角都等于

π

3

，設D為BC中點．
（1）求這個棱錐的側面積和體積；
（2）求異面直線PD與AB所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）棱錐的側面積等于三個側面的面積的和，體積利用V=

1

3

S△ABCPA即可求解；
（2）取AC中點E，連接DE，則∠PDE為異面直線PD與AB所成角（或其補角）．△PDE中，利用余弦定理可求異面直線PD與AB所成角的大小．

解答：解：（1）∵PA⊥平面ABC，兩條側棱與底面所成角都等于

π

3

，∴∠PBA=∠PCA=

π

3

，
∵AB=AC=1，∴PA=

3

，PB=PC=2，…．（2分）
∵D為BC中點，∴PD⊥BC，∴PD=

PB2-BD2

=

15

2

，…．（3分）
∴S側=2×

1

2

×1×

3

+

1

2

×1×

15

2

=

4 3 + 15

4

，…．（5分）
V=

1

3

S△ABCPA=

1

4

…．（6分）
（2）取AC中點E，連接DE，

則DE∥AB，∴∠PDE為異面直線PD與AB所成角（或其補角）．…．（8分）
△PDE中，DE=

1

2

，PE=

13

2

，…．（10分）
設∠PDE=θ，則cosθ=

PD2+DE2-PE2

2PD•DE

=

15

10

，…．（12分）
因此異面直線PD與AB所成角的大小為arccos

15

10

．…．（14分）

點評：本題考查棱錐的側面積和體積，考查異面直線所成的角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．