Question

已知定圓C：x²+（y-3）²=4，過點A（-1，0）的一條動直線l與圓C相交于P，Q兩點，若|PQ|=2

3

，則直線l的方程為（　　）

A．4x-3y+4=0

B．3x-4y+3=0

C．4x-3y+4=0或x=-1

D．x=-1

Answer 1

分析：根據題意畫出圖形，過C作CM垂直于PQ，根據垂徑定理得到M為弦PQ的中點，求出|PM|的長，由圓的半徑和|PM|，利用勾股定理求出|CM|，即為圓心C到直線l的距離，分兩種情況：直線l的斜率不存在時，顯然直線x=-1滿足題意；當直線l斜率存在時，設出斜率為k，由直線l過A點，表示出直線l的方程，然后利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線l的距離d，讓d等于求出的|CM|列出關于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，從而確定出直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程．

解答：解：由題意畫出圖形，如圖所示：
過圓心C作CM⊥PQ，則|MP|=|MQ|=

1

2

|PQ|=

3

，
由圓C的方程得到圓心C坐標（0，3），半徑r=2，
在Rt△CPM中，根據勾股定理得：CM=1，即圓心到直線的距離為1，
（i）直線l的斜率不存在時，顯然直線x=-1滿足題意；
（ii）直線l的斜率存在時，設直線l的斜率為k，由A（-1，0），
得到直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
圓心到直線l的距離d=

|-3+k|

1+k2

=1，解得k=

4

3

，
所以直線l為4x-3y+4=0，
綜上，滿足題意的直線l為x=-1或4x-3y+4=0．
故選C

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，利用了數形結合及分類討論的思想，用到的知識有：垂徑定理，勾股定理及點到直線的距離公式．若直線與圓相交時，常常利用弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形解決問題．解本題時注意滿足題意的直線l有兩條，不要漏解．