Question

如圖，已知定圓C：x²+（y-3）²=4，定直線m：x+3y+6=0，過A（-1，0）的一條動直線l與直線相交于N，與圓C相交于P，Q兩點，M是PQ中點．
（Ⅰ）當l與m垂直時，求證：l過圓心C；
（Ⅱ）當時，求直線l的方程；
（Ⅲ）設t=，試問t是否為定值，若為定值，請求出t的值；若不為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據已知，容易寫出直線l的方程為y=3（x+1）．將圓心C（0，3）代入方程易知l過圓心C．
（Ⅱ）過A（-1，0）的一條動直線l．應當分為斜率存在和不存在兩種情況；當直線l與x軸垂直時，進行驗證．當直線與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），由于弦長，利用垂徑定理，則圓心C到弦的距離|CM|=1．從而解得斜率K來得出直線l的方程為．
（Ⅲ）同樣，當l與x軸垂直時，要對設t=，進行驗證．當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），代入圓的方程得到一個二次方程．充分利用“兩根之和”和“兩根之積”去找．再用兩根直線方程聯立，去找．從而確定t=的代數表達式，再討論t是否為定值．
解答：解：（Ⅰ）由已知，故k_l=3，
所以直線l的方程為y=3（x+1）．
將圓心C（0，3）代入方程易知l過圓心C．（3分）
（Ⅱ）當直線l與x軸垂直時，易知x=-1符合題意；（4分）
當直線與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），由于，
所以|CM|=1．由，解得．
故直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0．（8分）
（Ⅲ）當l與x軸垂直時，易得M（-1，3），，
又A（-1，0）則，，故．即t=-5．（10分）
當l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），代入圓的方程得（1+k²）x²+（2k²-6k）x+k²-6k+5=0．
則，，
即，=．
又由得，
則．
故t=．
綜上，t的值為定值，且t=-5．（14分）
另解一：連接CA，延長交m于點R，由（Ⅰ）知AR⊥m．又CM⊥l于M，
故△ANR∽△AMC．于是有|AM|•|AN|=|AC|•|AR|．
由，得|AM|•|AN|=5．
故（14分）
另解二：連接CA并延長交直線m于點B，連接CM，CN，由（Ⅰ）知AC⊥m，又CM⊥l，
所以四點M，C，N，B都在以CN為直徑的圓上，
由相交弦定理得．（14分）
點評：（1）用直線方程時，一定要注意分為斜率存在和不存在兩種情況．一般是驗證特殊，求解一般．
（2）解決直線與圓相交弦相關計算時一般采用垂徑定理求解．
（3）涉及到直線和圓、圓錐曲線問題時，常常將直線代入曲線方程得到一個一元二次方程，再充分利用“兩根之和”和“兩根之積”整體求解．這種方法通常叫做“設而不求”．