Question

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率，在橢圓E上存在A，B兩點關于直線l：y=x+1對稱．
（Ⅰ）現給出下列三個條件：①直線AB恰好經過橢圓E的一個焦點；②橢圓E的右焦點F到直線l的距離為；③橢圓E的左、右焦點到直線l的距離之比為．
試從中選擇一個條件以確定橢圓E，并求出它的方程；（注：只需選擇一個方案答題，如果用多種方案答題，則按第一種方案給分）
（Ⅱ）若以AB為直徑的圓恰好經過橢圓E的上頂點S，求b的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）選擇條件②，∵橢圓（a＞b＞0）的離心率，
∴=，橢圓的右焦點坐標為（c，0）
∵右焦點F到直線l的距離為，
∴=，
∴c=3，a=3
∵a²=b²+c²，
∴b²=9
∴橢圓E的方程為
（Ⅱ）∵離心率
∴a²=2b²
∵A，B兩點關于直線l：y=x+1對稱，
∴直線AB的斜率為-1，設直線AB的方程為y=-x+m，代入橢圓方程得：（3b²）x²-4mb²x+2b²m²-2b⁴=0
∴△＞0時，x₁+x₂=，x₁x₂=
依題意，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵橢圓E上存在A，B兩點關于直線l：y=x+1對稱，
∴AB的中點（，）在直線：y=x+1上
∵=，==，
∴m=-3
∵橢圓E的上頂點S（0，b），以AB為直徑的圓恰好經過橢圓E的上頂點S，即AS⊥BS，即=0，即（-x₁，b-y₁）•（-x₂，b-y₂）=0
∴x₁x₂+（b-y₁）（b-y₂）=x₁x₂+y₁y₂-b（y₁+y₂）+b²=2x₁x₂+（b+3）（x₁+x₂）+9+6b+b²=0
∴-4（b+3））+9+6b+b²=0，解得b=9，b=-3（舍去）
∴b=9
分析：（Ⅰ）選擇條件②運算量小一些，由橢圓E的右焦點F到直線l的距離為，利用點到直線的距離公式即可得c的值，再由離心率，即可求得a值，最后由橢圓a²=b²+c²，求的b值即可得橢圓方程
（Ⅱ）先由離心率，得a²=2b²，將橢圓方程化為，再由橢圓E上存在A，B兩點關于直線l：y=x+1對稱，知AB的中點（，）在直線：y=x+1上，聯立直線AB和橢圓方程，利用韋達定理列方程可得m的值，最后利用以AB為直徑的圓恰好經過橢圓E的上頂點S（0，b），，即AS⊥BS，即=0，利用韋達定理列方程即可得b的值
點評：本題考察了橢圓的標準方程及幾何性質，直線與橢圓的位置關系，解題時要認真體會韋達定理在解決直線與圓錐曲線問題中的重要應用．