Question

【題目】如圖，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1．將矩形沿對角線BD折起，使A移到點P，P在平面BCD上的投影O恰好落在CD邊上．

（1）證明：DP⊥平面BCP；

（2）求點O到平面PBD的距離．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）由已知可證BC⊥CD，DA⊥AB，由A點移動到了P點，可證PD⊥PB，過P點作PO⊥CD，利用PO⊥面BCD，可證BC⊥面PCD，利用線面垂直的性質得BC⊥PD，根據線面垂直的判定定理可證PD⊥面PBC．

（2）連接OB，由（1）可知DP⊥PC，可求PC，可證OP⊥CD，由DCPO＝DPPC，解得OP，OC的值，可得S△ODB，設點O到平面PBD的距離為h，可得S△DPB＝S△ABD＝1，根據VP﹣DOB＝VO﹣DPB，即可解得h的值．

（1）∵四邊形ABCD為矩形，

∴BC⊥CD，DA⊥AB，

∵A點移動到了P點，

∴PD⊥PB，

又∵P點在平面BCD上的射影在CD上，

∴過P點作PO⊥CD，

∴PO⊥面BCD，

∴BC⊥面PCD，可得：BC⊥PD，

∴PD⊥面PBC，

（2）連接OB，由（1）可知DP⊥平面BCP，PC平面BCP，

所以DP⊥PC，

即PC，

由（1）可知OP⊥平面BCD，

而CD平面BCD，

所以OP⊥CD，

由DCPO＝DPPC，解得：OP，

所以OC，

可得：OD，BD，sin∠ODB，

可得S△ODBsin∠ODB，

設點O到平面PBD的距離為h，可得S△DPB＝S△ABD＝1，

因為VP﹣DOB＝VO﹣DPB，

所以S△DOBPOS△DPBh，

可得：h，解得h．

即點O到平面PBD．