Question

設A₁，A₂，A₃，A₄，A₅是空間中給定的5個不同的點，則使

MA1

+

MA2

+

MA3

+

MA4

+

MA5

=

0

成立的點M的個數為

1

個．

Answer 1

分析：分別設出A₁、A₂、A₃、A₄、A₅和M各點的坐標，得到向量

MAk

（k=1，2，3，4，5）的坐標，根據加法的坐標運算代入題中的向量等式，化簡整理可得M坐標關于A₁、A₂、A₃、A₄、A₅坐標的式子，從而得到存在唯一的點M，使

MA1

+

MA2

+

MA3

+

MA4

+

MA5

=

0

成立．

解答：解：設A₁（x₁，y₁，z₁），A₂（x₂，y₂，z₂），A₃（x₃，y₃，z₃），A₄（x₄，y₄，z₄），A₅（x₅，y₅，z₅）
再設M（a，b，c），則可得

MA1

=（x₁-a，y₁-b，z₁-c），

MA2

=（x₂-a，y₂-b，z₂-c），

MA3

=（x₃-a，y₃-b，z₃-c），

MA4

=（x₄-a，y₄-b，z₄-c），

MA5

=（x₅-a，y₅-b，z₅-c），
∵

MA1

+

MA2

+

MA3

+

MA4

+

MA5

=

0

成立
∴

x1+x2+x3+x4+x5-5a=0 y1+y2+y3+y4+y5-5b=0 z1+z2+z3+z4+z5-5c=0

，可得

a= 1 5 (x1+x2+x3+x4+x5) b= 1 5 (y1+y2+y3+y4+y5) c= 1 5 (z1+z2+z3+z4+z5)

因此，存在唯一的點M，使

MA1

+

MA2

+

MA3

+

MA4

+

MA5

=

0

成立
故答案為：1

點評：本題給出空間5個點，探索這5個點與點M構成的向量和為零向量的點的個數．著重考查了向量的線性運算及其幾何意義的知識，屬于基礎題．