Question

【題目】某工廠打算設計一種容積為2m3的密閉容器用于貯藏原料,容器的形狀是如圖所示的直四棱柱,其底面是邊長為x米的正方形,假設該容器的底面及側壁的厚度均可忽略不計.

（1）請你確定x的值,使得該容器的外表面積最小;

（2）若該容器全部由某種每平方米價格為100元的材料做成,且制作該容器僅需將購置的材料做成符合需要的矩形,這些矩形即是直四棱柱形容器的上下底面和側面(假設這一過程中產生的費用和材料損耗可忽略不計),再將這些上下底面和側面的邊緣進行焊接即可做成該容器,焊接費用是每米500元,試確定x的值,使得生產每個該種容器的成本(即原料購置成本+焊接費用)最低.

Answer 1

【答案】（1）當時,該容器的表面積最小.（2）當時,生產每個容器的成本最低.

【解析】

（1）設該容器高為h, 設該容器的外表面積為S,求出,再利用導數求函數的最小值得解；（2）設生產每個容器的成本為C(單位:元), 則,再利用導數求函數的最小值得解.

（1）設該容器高為h,據體積為2m3得x2h=2,即,

設該容器的外表面積為S,則,

則,

令S′＞0,解得,此時函數S(x)單調遞增,令S′＜0,解得,此時函數S(x)單調遞減,

∴當時,該容器的表面積最小;

（2）設生產每個容器的成本為C(單位:元),

則,

∴,

令C′＞0,解得,此時函數C(x)單調遞增,令C′＜0,解得,此時函數C(x)單調遞減,

∴當時,生產每個容器的成本最低;