Question

過點P（1，0）可以作曲線y=x³-ax²的兩條切線，則a的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：設出切點坐標，求出導數，根據坐標表示出切線的斜率，然后把切點的橫坐標代入到曲線的導函數中得到切線的斜率，求出切線方程，把橫坐標代入到曲線解析式得到切點的縱坐標，列出方程即可求出切點的橫坐標，再由判別式為0，即可求出a的值．

解答： 解：函數f（x）的導數為f'（x）=3x²-2ax，
過點A（1，0）作曲線C的切線，
設切點（x₀，f（x₀）），則切線方程為：y=（3x₀²-2ax₀）（x-1），
將（x₀，f（x₀））代入得：f（x₀）=x₀³-ax₀²即
（3x₀²-2ax₀）（x₀-1）=x₀³-ax₀²，
解得x₀=0，2x₀²-（a+3）x₀+2a=0，
由于滿足條件的切線只有兩條，
故判別式△=（a+3）²-16a=0，
解得a=1，或a=9．
故答案為：1或9．

點評：本題考查切線斜率與導函數的關系，要求會利用導數研究曲線上某點的切線方程，以及會根據斜率和一點寫出直線的方程．