Question

已知函數，函數（，且mp＜0），給出下列結論：
①存在實數r和s，使得對于任意實數x恒成立；
②函數的圖像關于點對稱；
③函數可能不存在零點（注：使關于x的方程的實數x叫做函數的零點）；
④關于x的方程的解集可能為{－1，1，4，5}．
其中正確結論的序號為         （寫出所有正確結論的序號）．

Answer 1

①③

（1）函數的定義域為。
令，得，。
當時，；
當時，∵，，∴，當且僅當，即時，，故存在實數和，使得對于任意實數x恒成立，故結論①正確。
（2）設為函數圖像上的任意一點，關于點的對稱點為，則，
所以，
知點不在函數的圖像上，故函數的圖像不關于點對稱，結論②不正確。
（3）令，得，當時，由（1）知，方程無解，即函數不存在零點，故結論③正確。
（4）由（2）知，函數的圖像關于直線對稱，則關于x的方程的解關于對稱，但，結論④不正確。
綜上，正確結論的序號為①③。