Question

【題目】設函數，其中.

（1）當時，求曲線在點處的切線方程；

（2）討論函數的單調性；

（3）當，且時證明不等式：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析（Ⅲ）見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）代入時，求得，求得切線的斜率，即可求解切線的方程；

（Ⅱ）求得的表達式，分和和三種情況分類討論，即可求解函數的單調區間；

（Ⅲ）先由時,證得，再取得，進而可證明上述不等式．

試題解析：

（Ⅰ）解：當時， ，

所以，曲線在點處的切線方程為.

（Ⅱ）解：函數.

,

分以下幾種情形討論：

（1）當時， ，函數；

（2）當時， ，

①當時， ，

，

所以，函數

②當時，

,

所以， .

（Ⅲ）證明：當-1時, ，

令，則在上恒正，

所以， 在上單調遞增，當時，恒有，

即當時， ，

對任意正整數，取得，

所以，

=

=

=