Question

已知函數(shù)f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

-1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α為第二象限角，且f(α+

π

6

)=

1

3

，求

1-cos2a

sin2a

的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為

3

sinx-(1+cosx)=2sin(x-

π

6

)-1，可得f（x）的最小正周期和它的值域．
（2）由條件求得sinα=

2

3

，再由α為第二象限角，可得cosα 和tanα 的值，再由

1-cos2a

sin2a

=

2sin2a

2sina•cosa

=tana，從而求得結(jié)果．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

-1=

3

sinx-(1+cosx)=2sin(x-

π

6

)-1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π，值域[-3，1]．
（2）∵f(α+

π

6

)=2sinα-1=

1

3

，∴sinα=

2

3

，再由α為第二象限角，可得cosα=-

5

3

，tanα=

sinα

cosα

=-

2 5

5

，
∴

1-cos2a

sin2a

=

2sin2a

2sina•cosa

=tana=-

2 5

5

．

點評：本題主要考查三角函數(shù)性質(zhì)及簡單的三角變換，要求學生能正確運用三角函數(shù)的概念和公式對已知的三角函數(shù)進行化簡求值，屬于中檔題．