Question

【題目】近些年隨著我國(guó)國(guó)民消費(fèi)水平的升級(jí)，汽車產(chǎn)品已經(jīng)逐漸進(jìn)入千家萬戶，但是我國(guó)的城市發(fā)展水平并不能與汽車保有量增速形成平衡，城市交通問題越發(fā)突出，因此各大城市相繼出現(xiàn)了購(gòu)車限號(hào)上牌的政策.某城市采用搖號(hào)買車的限號(hào)上牌方式，申請(qǐng)人提供申請(qǐng)，經(jīng)審查合格后，確認(rèn)申請(qǐng)編碼為有效編碼，這時(shí)候就可以憑借申請(qǐng)編碼參加每月一次的搖號(hào).假設(shè)該城市有20萬人參加搖號(hào)，每個(gè)月有2萬個(gè)名額，每個(gè)月?lián)u上的人退出搖號(hào)，沒有搖上的人繼續(xù)下個(gè)月?lián)u號(hào).

（1）平均每個(gè)人搖上號(hào)需要多長(zhǎng)時(shí)間?

（2）如果每個(gè)月都有2萬人補(bǔ)充進(jìn)搖號(hào)隊(duì)伍，以每個(gè)人進(jìn)入搖號(hào)的月份算第一個(gè)月，他搖到號(hào)的月份設(shè)為隨機(jī)變量.

①證明：為等比數(shù)列；

②假設(shè)該項(xiàng)政策連續(xù)實(shí)施36個(gè)月，小王是第一個(gè)月就參加搖號(hào)的人，記小王參.加搖號(hào)的次數(shù)為，試求的數(shù)學(xué)期望（精確到0.01）.

參考數(shù)據(jù)：，.

Answer 1

【答案】（1）5.5個(gè)月；（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）設(shè)每個(gè)人搖上號(hào)的時(shí)間為個(gè)月，得到，求得相應(yīng)的概率，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望，即可得到結(jié)論；

（2）（�。┙Y(jié)合等比數(shù)列的定義，即可證得為等比數(shù)列；（ⅱ）由（ⅰ）求得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，再結(jié)合乘公比錯(cuò)位相減法，即可求解.

（1）由題意，設(shè)每個(gè)人搖上號(hào)的時(shí)間為個(gè)月，則，

可得，，

， ，

，

所以，

即平均每個(gè)人搖上號(hào)需要的時(shí)間為5.5個(gè)月.

（2）（�。┟總�(gè)月的搖號(hào)中恰有的概率搖上，

則有，且，

故為等比數(shù)列.

（ⅱ）由（�。┛芍�，當(dāng)時(shí)，，.

故的數(shù)學(xué)期望為：.

設(shè).

則，

兩式作差得

所以.